terça-feira, 4 de novembro de 2014

Entendendo Sistemas/Motores Elétricos - Parte III


Hora do terceiro artigo da série. Se você ainda não leu o artigo um e o artigo dois, por favor faça agora.

 

Recapitulando


No último artigo foi discutidos a capacidade e duração das células.

 

Um Pouco de Realidade


Até agora nós olhamos para o nosso sistema elétrico como sendo definido por alguns parâmetros fixos. O nosso motor sempre girou a 1000 RPM por volt, por exemplo. Chegou a hora de adicionar um pouco de realidade ao nosso sistema de energia ideal. Nós iremos explorar a relação entre o tamanho da hélice, RPM e absorção de energia. Observe que para o momento nós ainda estamos operando na terra da fantasia onde não existem perdas, chamado Mundo Ideal, mas o nosso mundo está se tornando cada vez mais real.

Nossa Primeira Constante do Motor: Kv


Acontece que, no mundo real, nem todo motor gira exatamente a 1000 RPM para cada volt de energia aplicada e ele. Em vez disso, cada motor tem o seu próprio e diferente valor de RPM / volt. Este valor é chamado de 'constante de tensão' e é geralmente abreviado como Kv. O "K" vem do fato de que o valor é uma "constante" para qualquer motor e, aparentemente, engenheiros elétricos falharam na ortografia. A letra minúscula "v" é usado para significar que esta é a "tensão" constante do qual estamos falando (que deve ser um bom indício de que há outros valores "K" com diferentes significados e, portanto, diferentes letras minúsculas - mais sobre isso depois).

O RPM de um motor, então, é igual ao produto do valor constantes Kv e a voltagem de entrada, como mostrado abaixo:

      RPM = Kv * V

Vamos assumir por um momento que temos dois motores: um com um Kv de 1000 e o outro com um Kv de 500. Ambos os motores são capazes de girar a qualquer RPM, mas o segundo motor irá precisar do dobro de voltagem do que o primeiro motor.

      RPM = Kv * V
      RPM = 500 * 10 = 5000
      RPM = 1000 * 5 = 5000 

Ambos os motores estão girando a 5000 RPM, mas o motor com um Kv de 500 requer o dobro de 'células' ideais (volts) para fazê-lo. Por isso, um dos motores requer uma bateria que vai pesar o dobro (mas também ira proporcionar o dobro da duração).

Agora que nós melhor definimos o nosso Ideal Motors, vamos definir ainda mais a potência de saída, para que possamos juntar tudo e realmente ter uma boa visão de como o Kv realmente funciona.

Detalhamento da Absorção de Energia pela Hélice 


As duas primeiras partes desta série continha algumas tabelas que mostravam a absorção de energia de duas hélices de tamanhos diferentes em vários RPMs. Como eu disse, esses valores eram fictícios. Eu criei essas tabelas para que eu pudesse entrar na discussão sem ter que me preocupar com a complexidade dos valores reais.

No mundo real, é muito difícil prever a quantidade de energia necessária para girar um hélice a uma dada RPM. Há muitos fatores complexos a serem considerados, tais como o número de pás, aerofólio e forma/contorno da pá. Para a nossa discussão, é razoável simplificar as coisas um pouco. A fórmula a seguir foi retirada do livro Electric Motor Handbook de Bob Boucher. E a fórmula é precisa o suficiente para o nosso uso. Existem fórmulas melhores e mais complexas lá fora, se você está interessado em um estudo mais aprofundado.

A seguinte fórmula trabalha bem para a maioria das hélices de duas pás:

        Power (Watts) = Kp * D^4 * P * RPM^3

A potência necessária para girar a hélice é igual à 'constante da hélice' vezes o 'diâmetro da hélice' à quarta potência, vezes o 'passo da hélice' vezes o RPM à terceira potência. Note-se que o diâmetro e o passo são especificados em pés (não em polegadas) e o RPM é especificado em milhares.

O "Kp" é a 'constante da hélice', o qual é determinado pela marca da hélice que será utilizada. Nem todas as marcas de hélices são exatamente a mesma, é claro, por isso a constante é usada para "falsificar" os valores em uma direção ou na outra. Bob passou uma grande parte do tempo na determinação das constantes de várias hélices. Eu estou reproduzindo-os abaixo:

Tabela 1.  Kp de várias hélices
Marca da Hélice Kp
Top Flite, Zinger, Master Airscrew 1.31
APC 1.11
thin carbon fiber folders 1.18

O que a Fórmula Significa


É muito bom saber como calcular a absorção de energia, mas é muito mais importante ter uma boa noção do que a fórmula significa. Por exemplo, a fórmula acima pode ser utilizada para mostrar o seguinte:

  • Dobrando o diâmetro requer 16 vezes mais potência (por exemplo, girando uma hélice 12x6 a 10.000 RPM requer 16 vezes mais potência do que girar uma hélice 6x6 a mesma RPM);
  • Duplicando o RPM requer 8 vezes mais potência (por exemplo, exige 8 vezes mais potência para girar uma hélice 12x12 a 10.000 RPM do que para girar a 5.000 RPM)
  • Dobrando o passo requer duas vezes mais potência (por exemplo, uma hélice 12x12 requer o dobro de energia para para girar a um determinado RPM do que uma hélice 12x6) 
Assim, o diâmetro da hélice é o principal valor em relação ao consumo de energia absorvida. Depois disso, é o RPM. Em um distante terceiro lugar é o passo da hélice. 

Cálculos de Exemplo de Absorção de Energia


Usando nossa fórmula, nós podemos agora determinar quanta energia é absorvida por qualquer hélice girando a qualquer RPM. Eu costumo usar e recomendar hélices APC para aviões esporte, por isso vou concentrar sobre estes durante a discussão. Isso significa minha constante de hélice (Kp) será 1,11 para as seguintes ilustrações:

Tabela 2.  Energia (watts) absorvida por 3 hélices APC a vários RPMs
RPM 12x8 10x8 8x8
4000 47 23 9
6000 160 77 32
8000 379 183 75
10000 740 357 146
12000 1279 617 253
14000 2031 979 401

Prevendo o Consumo de Corrente Baseado no Kv e na Absorção de Energia


Dado o valor Kv do motor, podemos facilmente ver o quanto de tensão é necessária para girar a hélice em um determinado RPM. Usando a tensão e a potência absorvida pelo nossa hélice escolhida, podemos calcular rapidamente a corrente. Note-se que não há perdas a serem consideradas em nosso Mundo Ideal, por isso o cálculo é muito simples.

As tabelas a seguir mostram a energia, tensão e corrente necessária para girar uma hélice 12x8 em 6 RPMs diferentes. A primeira tabela assume um motor 1000 Kv, enquanto que a segunda tabela mostra valores para um motor de 500 Kv. 

Tabela 3.   Energia, Voltagem e Corrente necessária para girar uma hélice 12x8 em vários RPMs com um motor de 1000 K
RPM Energia (watts) Voltagem (RPM/Kv) Corrente (Energia/Voltagem)
4000 47 4 12
6000 160 6 27
8000 379 8 47
10000 740 10 74
12000 1279 12 107
14000 2031 14 145

Tabela 4.   Energia, Voltagem e Corrente necessária para girar uma hélice 12x8 em vários RPMs com um motor de 500 Kv
RPM Energia (watts) Voltagem (RPM/Kv) Corrente (Energia/Voltagem)
4000 47 8 6
6000 160 12 13
8000 379 16 24
10000 740 20 37
12000 1279 24 53
14000 2031 28 73

Utilizando as tabelas acima, podemos fazer uma comparação direta entre os dois motores de diferentes valores de Kv. O Kv determina quantos volts nós precisamos para girar a nossa hélice em um determinado RPM. Este, por sua vez, determina a quantidade de corrente será consumida pelo motor. Aumentar Kv sempre aumentará o consumo de corrente, mantendo todas as outras coisas iguais. É por isso que comumente chamamos motores com alto Kv de "hot wind".

Imagine que nosso objetivo era girar uma hélice 12x8 a 10.000 RPM. Dadas as tabelas acima, qual o motor que você escolheria? Como você pode ver na Tabela 3, um motor com 1000 Kv exige 74 amperes para girar uma hélice 12x8 a 10.000 RPM. O segundo motor, mostrada na Tabela 4, é provavelmente a melhor escolha pois irá consumir apenas 37 amperes para fazer a mesma coisa. O único problema é que teremos o dobro de células - não existe almoço grátis.

Talvez a melhor maneira de resolver o objetivo acima seria decidir sobre uma meta de duração junto com a meta de desempenho e procurar um motor que atenda as nossas necessidades. Desta forma, poderíamos escolher a nossa corrente para ser, digamos, 30 amperes. Com base na potência de que precisamos (740 watts) e a corrente que escolhemos (30 amperes) nós podemos determinar que precisamos de 25 'células' ideais (25 vezes 30 é aproximadamente igual a 740). Desde que nós sabemos que queremos girar a nossa hélice a 10.000 RPM a 25 volts agora podemos começar a nossa busca do motor, procurando por um de 400 Kv.

Calculando a Corrente Diretamente


Com base nas tabelas acima, deve ser óbvio que o cálculo da corrente é trivial, uma vez que sabemos o quanto de energia e tensão temos em nosso sistema.

     Potência (W) = Voltagem x Corrente = V x A
     A = Potência / Voltagem = W / V

Substituindo nossa absorção de energia na equação de Watts temos:

      A =  Kp * D^4 * P * RPM^3 / V

Mas o RPM do nosso motor está igual ao Kv do motor vezes a tensão de entrada. Por isso:

      A = Kp * D^4 * P * (Kv * V) ^ 3 / V
      A = Kp * D^4 * P * Kv ^ 3 * V ^ 3 / V
      A = Kp * D^4 * P * Kv ^ 3 * V^2  

Com base no que vimos acima podemos notar que:

  • Corrente sobe ao quadrado da voltagem de entrada;
  • Corrente sobe ao cubo do Kv.

Por várias vezes eu alertei que toda essa discussão era baseada na premissa de que estamos operando em um mundo ideal. Estas fórmulas não podem ser utilizado para prever com precisão o desempenho de um motor elétrico no mundo real utilizando hélices e células do mundo real. Mas elas podem ser utilizados para demonstrar importantes relações que normalmente estão escondidos dentro das fórmulas complexas.

O Problema do Kv


Modelistas muitas vezes me escrevem um e-mail dizendo que eles encontraram um motor sem marca em uma loja de excedentes ou algum outra lugar. Eles querem saber se eles podem usar o motor em um avião elétrico. A maioria destes motores são motores de "ferrite" simples que têm altos valores de Kv em comparação com um motor de qualidade brushless ou um motor escovado que é projetado para o vôo elétrico. Eu geralmente acabo respondendo explicando o quão difícil é encontrar um motor de uso geral que é adequado para os nossos usos. O mesmo geralmente acontece com motores de automóvel RC e motores encontrados em "Radio Shack" ou em outros lugares não especializados. 

Um dos problemas com muitos desses motores é que eles tipicamente tem valores Kv muito elevados. Um rápido olhar para as fórmulas acima vai mostrar que isso significa que eles vão tentar consumir uma grande quantidade de corrente. Como vimos acima, a corrente aumenta ao cubo do Kv. Motores de alto Kv adoram corrente.

Uma solução para este problema é a utilização de uma correia de transmissão ou caixa de velocidades. Estes dispositivos reduzem de forma eficaz o Kv do motor, que permite girar uma grande hélice a um um baixo RPM dado uma mesma potência de entrada. Uma unidade de redução de 2:1, por exemplo, efetivamente reduz à metade o Kv do motor.
 
Naturalmente, esta idéia pode ser levada longe demais. Há limitações e perdas que ainda não estamos considerando, mas devem ser levados em conta ao determinar o quanto de uma proporção é demais para o motor. Embora nós podemos girar uma grande hélice usando um Astro 25 em um Superbox, nós não podemos colocar tanta energia no sistema como fazemos com um Astro 60. Para entender por que, você vai ter que esperar pelo próximo artigo desta série.

Resumo


  • O RPM de um motor ideal é igual ao produto do valor Kv do motor e da tensão de entrada (RPM = Kv * V) ;
  • Potência (Watts) = Kp * D^4 * P * RPM^3 - onde Kp é a constante da hélice (1,25 para uso geral, D é o diâmetro da hélice em pés (feet), P é o passo da hélice em pés (feet) e RPM está em milhares;
  • Dobrar o Diâmetro requer 16 vezes mais potência (por exemplo, girar uma hélice de 12x6 a 10.000 RPM querer 16 vezes mais potência do que girar uma hélice 6x6 no mesmo RPM);
  • Dobrar o RPM requer 8 vezes mais potência (por exemplo, consome 8 vezes mais potência para girar uma hélice 12x12 a 10.000 RPM do que para girar a mesma hélice a 5.000 RPM);
  • Dobrar o Passo requer 2 vezes mais potência (por exemplo, girar uma hélice 12x12 requer o dobro de potência do que girar uma hélice 12x6 a um mesmo RPM);
  • Corrente sobe ao quadrado da voltagem de entrada;
  • Corrente sobe ao cubo de Kv.

 

Perguntas & Respostas


Q1 - Quanto de energia é absorvido por uma hélice 10x6 que está girando a 9.500 RPM?

R1 - Lembre-se que: Potência Watts = Kp * D^4 * P * RPM^3

A questão não forneceu o valor da constante da hélice, então vamos assumir um Kp de 1.25 (um bom valor para uso geral). Então:

    Potência = 1.25 * (.83^4) * .5 * (9.5^3)
    Potência = 1.25 * .48 * .5 * 857.38
    Potência = 257.21 watts

Q2 - O que aumenta mais o consumo de corrente: o aumento do diâmetro em uma polegada ou o passo em uma polegada?

R2 - Diâmetro é o fator mais importante quando calculando o consumo de energia. Considere que aumentando o diâmetro de uma hélice de 10 para 11 polegadas requer 40% mais de energia enquanto aumentando a o passo de uma hélice de 10 para 11 polegadas requer somente 10% a mais de energia.

Q3 - Eu preciso fornecer para meu avião 500 Watts de potência. Dê dois sistemas de energia ideal (número de células, motor e hélice) que irá conseguir fornecer.

R3 - Existem várias formas de olhar para esse problema. Vamos iniciar respondendo primeiro a questão sobre a escolha da hélice. Depois nós podemos responder a questão de escolha do motor.

Responda a questão baseado em uma dada hélice:


  1. Escolha uma hélice. Qualquer hélice serve.
  2. Dada a hélice escolhida, determine quantos RPM serão necessários para absorver 500 watts.
  3. Escolha um Kv imaginário para um motor ideal. Qualquer valor de Kv serve.
  4. Divida o RPM que nós determinamos pelo Kv para descobrir quantos volts nós precisaremos.
  5. Calcule a corrente consumida dividindo a energia consumida pela voltagem.
Eu escolherei uma hélice 12x8. Vamos assumir um Kp de 1.25 e calcular o RPM pela nossa equação:

    Potência (Watts) = Kp * D^4 * P * RPM^3
    500 = 1.25 * 1^4 * .67 * RPM^3
    500 = .8375 * RPM^3
    RPM^3 = 597.01
    RPM = 8.42

Então nós precisamos ter um RPM de 8420 para absorver 500 watts com uma hélice 12x8. Agora nós podemos escolher nosso motor ideal com qualquer valor de Kv. Vamos dizer que nosso motor ideal tem 765 Kv. Agora nós precisamos descobrir quantas células precisaremos para girar nosso motor de 765 Kv a 8420 RPM.

    # de células ideais (volts) = RPM / Kv
    # de células ideais =8420 / 765
    # de células ideais =11

Então nós teremos 11 células. Dado que demandaremos 500 watts de 11 células, nós agora podemos calcular facilmente a corrente consumida:

    Potência = Volts x Amps
    Potência = Células Ideais x Amps
    Amps = Potência / Células Ideais
    Amps = 500 / 11
    Amps = 45.5

 E está pronto. É um monte de trabalho, não é. Não admira que haja um mercado crescente de software para calcular essas coisas para nós. Mas é importante saber como essas equações funcionam. Acabamos de aprender que um motor ideal de 765 Kv com 11 células é uma hélice 12x8 irá fornecer 500 watts de potência a 8420 RPM.

Note que no Mundo Ideal podemos escolher qualquer hélice e qualquer motor (Kv) que queremos. Mas no Mundo Real veremos que nossas escolhas são limitadas pela disponibilidade e muitos fatores que ainda não foram discutidos.

Respondendo a questão baseado em um dado motor

É é um pouco mais comum para um modelista projetar um avião em torno de um motor do que uma hélice, não é? Para responder à pergunta desta forma podemos abordá-lo utilizando os seguintes passos:

  1. Selecione um motor e anote seu valor de Kv;
  2. Selecione a corrente consumida;
  3. Calcule o número de células necessárias para criar a potência desejada, dada a amperagem selecionada;
  4. Multiplique o número de células pelo Kv para determinar o RPM;
  5. Selecione uma hélice com base no RPM e potência. Esta etapa requer algum malabarismo.
Para minha resposta eu vou selecionar um motor de 1000 Kv. Eu vou escolher um consumo de corrente de 25 amperes. Quantas células que eu preciso para produzir 500 watts?
    Potência = Volts x Amps
    Potência = Células Ideais x Amps
    Células Ideais = Potência / Amps
    Células Ideais = 500 / 25
    Células Ideais = 20

Agora nós podemos determinar quão rápido o meu motor estará girando a hélice com base no número de células e no Kv do motor.

    RPM = Voltagem x Kv
    RPM = 20 x 1000
    RPM = 20000

Agora, a parte difícil. Precisamos escolher uma hélice que absorverá 500 watts a 20 mil RPM. Olhe para a nossa fórmula de energia e veja o que temos:

    Power (Watts) = Kp * D^4 * P * RPM^3
    500 = 1.25 * D ^ 4 * P * (20 ^ 3)
    500 = 1.25 * D ^ 4 * P * 8000
    500 = 10000 * D ^ 4 * P
    D ^ 4 * P = .05

O problema é que nós não podemos ir mais longe sem escolher um passo ou um diâmetro. Se escolher mal a primeira vez teremos que continuar tentando até chegarmos a uma hélice que faça sentido. Por exemplo, se eu escolher 10 polegadas para o meu passo e calcular o diâmetro, encontraremos: 

    D ^ 4 * P = .05
    D ^ 4 * .833 = .05
    D ^ 4 = .06
    D = .49


Lembre-se que estamos especificando diâmetro e passo pés (feet). Assim, os cálculos acima nos diz que uma hélice de passo de 10 polegadas deve ter um diâmetro de 6 polegadas para absorver 500 watts a 20 mil RPM. Se você parar nesse ponto terá respondido a pergunta original satisfatoriamente porque ainda estamos operando no Mundo Ideal, mas no mundo real, onde você e eu iremos voar nossos aviões, ninguém fabrica uma hélice 6x10! Nós vamos ter que tentar com um valor mais baixo para para o passo. Vamos tentar uma hélice com passo de 5 polegadas e ver qual diâmetro teremos: 

    D ^ 4 * P = .05
    D ^ 4 * .42 = .05
    D ^ 4 =  .12
    D = .59 feet = 7 inches


Portanto uma hélice 7x5 polegadas irá funcionar. Colocando tudo isso junto, nós determinamos que um motor com 1000 Kv vai exigir 20 células em 25 amperes para girar uma hélice de 7x5 polegadas a 20.000 RPM, produzindo 500 watts.


Q4 - Eu tenho um motor ideal com 750 Kv e uma hélice 12x10. Eu quero 3 minutos de aceleração máxima fornecidas por minhas 'células ideais' (1 Ah). Quantas células devo usar?

R4 - Esta é uma pergunta muito difícil. Para respondê-la, primeiro você precisa combinar as duas equações de energia diferentes. A saber:

    Potência = Volts x Amps
    Potência = Kp * D^4 * P * RPM^3


Em:


    Volts x Amps = Kp * D ^ 4 * P * RPM ^ 3

Então, considere o fato de que RPM é a voltagem de entrada vezes o Kv do motor:

    RPM = Volts x Kv
    Volts x Amps = Kp * D ^ 4 * P * RPM ^ 3


Portanto:

    Volts x Amps = Kp * D ^ 4 * P * (Volts x Kv) ^ 3
    Volts x Amps = Kp * D ^ 4 * P * Volts ^ 3 * Kv ^ 3
    1 / Volts ^ 2 = ( Kp * D ^ 4 * P * Kv ^ 3 ) / Amps
    Volts ^ 2 = Amps / (Kp * D ^ 4 * P * Kv ^ 3)


Vamos continuar e adicionar nossos valores:


    Volts ^ 2 = Amps / (1.25 * 1 ^ 4 * .833 * .75 ^ 3)
    Volts ^ 2 = Amps / .44


Para determinar a corrente consumida nós simplesmente temos que usar nossa equação de duração:

    Duração = 60 / Corrente
    Corrente = 60 / Duração
   
Corrente = 60 / 3
    Corrente = 20


 Ligando em 20 amperes, nós temos:

    Volts ^ 2 = 20 / .44
    Volts ^ 2 = 45.5
    Volts = 6.75 


Por isso, precisamos 6,75 volts para obter 3 minutos de duração de um motor com 750 Kv e uma hélice de 12x10. Uma vez que uma célula ideal fornece 1 volt cada, vamos arredondar para cima e responder à pergunta, selecionando 7 células.

Q5 - Eu tenho um motor ideal com um Kv desconhecido. Com uma hélice 8x6, ele consome 56 amperes de 4 células. Qual é o Kv do motor que estou testando?

R5 - Para determinar o Kv do motor, nós teremos que voltar outra vez a nossa equação de energia:

    Potência = Kp * D ^ 4 * P * RPM ^ 3
   
Potência = 1.25 * .6666 ^ 4 * .5 * (Volts * Kv) ^ 3
   
Potência = .1234 * Volts ^ 3 * Kv ^ 3
   
Potência = .1234 * 64 * Kv ^ 3
    Potência = 7.9 * Kv ^ 3
 


Agora podemos substituir a potência saindo da bateria para a potência na equação acima: 

    Potência = Volts x Amps = 7.9 * Kv ^ 3
    Kv ^ 3 = Volts x Amps / 7.9
    Kv ^ 3 = 56 * 4 / 7.9
    Kv ^ 3 = 28
    Kv = 3.04
 

Então o Kv do nosso motor misterioso é 3040.


Porque fazer essas perguntas difíceis?


A fim de aprender coisas, a mente humana requer prática. Nem todo mundo está interessado o suficiente para trabalhar com estes problemas complexos, mas aqueles que estiverem serão recompensados com uma melhor recordação do material. Dependendo do seu entusiasmo sobre o hobby, você poderá achar este tipo de problema muito gratificante. Se não, tente pelo menos absorver as informações do resumo no final de cada coluna. 


Autor: Jim Bourke

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